Obsah:
- Řekové
- Black & Scholes
- Delta
- Gama
- Tři způsoby výpočtu změny hodnoty pozice
- 1. Výpočet zisku pomocí cash flow
- 2. Výpočet zisku pomocí Delta
- 3. Výpočet zisku pomocí gama
Řekové
Řekové - delta, gama, theta, vega a rho - jsou pět proměnných, které pomáhají identifikovat rizika pozice opce.
Rizika, kterým investoři čelí v opcích, nejsou jednorozměrná. Aby bylo možné vypořádat se s měnícími se tržními podmínkami, měl by si být investor vědom velikosti těchto změn. Abychom zjistili, zda jsou změny velké nebo malé, ať už vytvářejí hlavní nebo menší riziko, teorie opcí a modely oceňování opcí poskytují investorům proměnné identifikující rizikové charakteristiky jejich pozice opcí. Tyto proměnné se označují jako Řekové. Monitorujeme pět Řeků: delta, gama, theta, vega a rho.
Protože Řekové jsou deriváty vzorce Black & Scholes, začneme tím, že o tom vysvětlíme ještě něco.
Black & Scholes
Blackův a Scholesův vzorec, někdy známý jako Blackův, Scholesův a Mertonův vzorec, je tržním standardním nástrojem pro stanovení cen. Možnost tohoto vzorce pro ceny jako funkce aktuální ceny akcií S 0, doby do splatnosti možnosti T, jejího stávky X, volatility σ a úrokové sazby r:
call = S 0 N (d 1) - Xe -rT N (d 2)
put = Xe -rT N (-d 2) - S 0 N (-d 1) s
kde N (x) je kumulativní funkce normálního rozdělení pro standardní normální rozdělení, tj. pravděpodobnost, že náhodná proměnná ~ N (0,1) (se standardním normálním rozdělením) je menší než x.
Před diskusí o vzorci uveďme základní předpoklady. Black a Scholesův vzorec předpokládá:
- Návraty jsou IID (nezávislé a identicky distribuované) s normální distribucí.
- Budoucí volatilita je známá a konstantní.
- Budoucí úroková sazba je známá, konstantní a stejná pro půjčování a půjčování.
- Skladová cesta je kontinuální a je možné kontinuální obchodování.
- Transakční náklady jsou nulové.
Při vývoji teorie předpokládáme, že všechny tyto předpoklady platí. Tento vzorec je tržním standardem, protože je extrémně robustní, pokud jde o porušení jeho předpokladů.
Delta
První řečtina, o které se bude diskutovat, je delta. Delta je v zásadě citlivost teoretické hodnoty opce na změnu ceny podkladového kontraktu. Jednodušší je delta změna hodnoty opce, když podkladová hodnota vzroste o 1 dolar. Například:
Δ call = ∂c / ∂S = N (d 1) a Δ put = ∂p / ∂S = N (d 1) - 1,
s N (d 1) jako ve vzorci BS.
Hodnota kupní opce se zvyšuje, když cena akcií stoupá, takže delta kupní opce je pozitivní. Naopak hodnota prodejní opce klesá, když cena akcií stoupá, takže delta prodejní opce je záporná.
Lze si všimnout, že N (x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, takže má hodnotu. Delta jednoho hovoru je pak vždy dovnitř a delta jednoho volání. Protože podkladová úroveň je obvykle 100 akcií, delta opce se vynásobí 100. Například opce s delta 0,25 se považuje za deltu 25. Čím vyšší delta, tím podobnější bude změna hodnoty opce. být podkladovým akciem. Hodnota opce s delta 100 se bude pohybovat přesně stejnou rychlostí jako podkladová akcie. Všimněte si také, že derivační operace je lineární, takže můžeme vypočítat delta každé možnosti a sečíst je, abychom získali deltu celého portfolia (pak to může být samozřejmě mimo).
Když se opce přiblíží k vypršení platnosti, její delta se změní, protože pravděpodobnost vypršení platnosti nebo z peněz se změní a normální rozdělení se zužuje a soustředí kolem průměru. Jak se opce blíží k vypršení platnosti, opce v penězích se posunou k deltě 100 a opce z peněz se posunou k deltě 0. Opce v penězích naopak zůstanou kolem delty 50.
Jak se základní akcie mění v ceně, mění se také delta. To lze očekávat, protože d 1 je funkcí ceny akcií.
Delta hovoru
Praktickou interpretací delty je zajišťovací poměr: množství akcií, které by se měly koupit nebo prodat, aby se neutralizovalo směrové riziko opce. Z vzorce BS vidíme další interpretaci. Zhruba řečeno, můžeme říci, že delta opce je její pravděpodobnost, že v penězích vyprší. (Pro put vezmeme absolutní hodnotu). Tato aproximace však funguje pouze pro evropské možnosti.
Shrneme-li, existují tři interpretace delty:
- Změna hodnoty opce, pokud se podkladová aktiva zvýší o 1 dolar.
- Zajišťovací poměr: počet akcií, které mají být koupeny nebo prodány za účelem neutralizace směrového rizika pozice.
- Šance, že opce bude po vypršení platnosti v penězích
→ OTM hovory: delta má tendenci k 0, když se blížíme k vypršení platnosti.
→ ITM hovory: delta má s časem tendenci 100.
Delta put a versus základní cena
Delta versus volatilita
Jak se volatilita zvyšuje (snižuje), delta volání jde směrem k (pryč od) 0,50 a delta putu směrem k (pryč od) -0,50. Takže pokud volatilita stoupá (klesá), delta možnosti peněz klesá (zvyšuje). V případě možnosti vyplacení peněz je to přesně naopak.
Delta versus čas
Jak čas klesá, delta hovoru se pohybuje od 0,50 a delta putu od -0,50. Postupem času se delta peněžního volání pohybuje směrem k 1 a delta peněžních peněz směrem k 0.
Gama
Gama je derivát delty jako funkce ceny akcií. Vzhledem k tomu, že delta je derivátem hodnoty opce v závislosti na podkladové akci, gama je změna delty, když se cena akcie zvýší o 1 dolar. Je napsán následovně:
Γ = δ 2 c / δS 2 = N '(d 1) / S 0 σ √T
s d 1 jako ve vzorci BS a N 'první derivace Gaussovy funkce kumulativní hustoty, to je obvyklá Gaussova hustota:
Gama versus cena akcií, gama versus čas
Jeden často říká, že gama dosáhne své maximální hodnoty, když je možností bankomat. To je správné jako první aproximace, skutečného maxima je však dosaženo, když je cena akcií těsně pod realizační cenou. Tento efekt je zobrazen v levé části obrázku výše pro obchodování s akciemi za 100 dolarů. Vzhledem k tomu, úderný X, volatility å, rychlost r, a čas vypršení T, akciový hodnota dává maximální gama je S max Γ = Xe - (r + 3σ ^ 2/2) T.
Gama křivka hovoru a putu jsou identické. To je v souladu s tím, co jsme zatím řekli o hovorech a kladení obecně, zejména o gama.
Jak čas do vypršení platnosti klesá, zvyšuje se gama a theta opcí u peněz. Těsně před vypršením platnosti se tyto proměnné mohou dramaticky zvětšit.
Gama versus čas
Jak ukazuje výše uvedený obrázek, graf se zužuje, ale celková plocha pod grafem zůstává nezměněna. V důsledku toho se graf dostane mnohem výše. Vyšší vrchol symbolizuje zvýšení gama a theta, jak se snižuje doba do vypršení platnosti.
Kvůli chování volání ITM, ATM a OTM vidíme, že delta křivka bude kolem stávky strmá, jak se blíží vypršení platnosti. Proto se u možnosti ATM časem zvýší gama. To však neplatí pro možnosti OTM a ITM.
Gama je důležitým rizikovým parametrem, protože určuje, kolik peněz můžeme na našem delta-neutrálním portfoliu získat nebo ztratit při změně ceny akcií. V následujícím příkladu vyhodnotíme P / L pozice opce v důsledku pohybu podkladu. Budeme předpokládat konstantní gama 2,7, takže se delta změní o 2,7 za pohyb podkladového dolaru.
Předpokládejme, že 80 volání koupíme 1000krát za 5,52 s cenou akcií 79 dolarů. Abychom byli delta neutrální, měli bychom prodat 51 100 akcií. Cena akcií se vyvíjí následovně:
t = | Tržní cena |
---|---|
0 |
79 |
1 |
84 |
2 |
76 |
3 |
79 |
V t = 1 at = 2 upravuji svůj živý plot, abych byl delta neutrální. V čase t = 3 svou pozici zavřu.
Tři způsoby výpočtu změny hodnoty pozice
Tady jsou tři způsoby, jak vypočítat změnu hodnoty naší pozice, první pomocí peněžního toku, druhý pomocí delty a třetí pomocí gama.
1. Výpočet zisku pomocí cash flow
Nejprve se podíváme na peněžní toky, jak ukazuje následující tabulka. Druhý sloupec zobrazuje peněžní toky související s hovorem a třetí souvisí s mojí skladovou pozicí. Poslední řádek sečte všechny:
Takže nakonec dosáhneme zisku 132 300. Pokud máme dlouhé možnosti a máme tedy dlouhou pozici gama, musíme nakupovat akcie, pokud cena akcií klesá, a prodávat akcie, pokud se cena akcií zvyšuje (nakupovat nízko, prodávat vysoko), takže pokud se akcie pohybují, vždy vytváříme zisk. Přesvědčte se sami, že to platí jak pro hovory, tak pro hovory.
2. Výpočet zisku pomocí Delta
Nyní uvažujeme o druhém způsobu výpočtu zisků. Obchody jsou stejné, liší se pouze výpočet zisku. U této metody uvažujeme současně možnost a pozici akcií. Sklad máme jako zajištění pro tuto opci, takže si vezměme jen celkovou pozici delta. Začneme delta neutrál. Pak se akcie přesunou, získáváme delty. (Vypočítáme delty, které získáme, pomocí rozdílu mezi dvěma danými deltami pro dané počáteční a koncové hodnoty zásob. Abychom dostali průměrnou deltu během pohybu, vezmeme tuto hodnotu dělenou dvěma). Hodnota portfolia získává na hodnotě podle svých delt, jak je vysvětleno níže.
V tomto případě použijeme metodu průměrné delty. To znamená, že:
- Vypočítejte průměrnou pozici delta během pohybu akcie.
- Vynásobte to intervalem pro výpočet zisku.
V době t zajišťujeme, takže nakupujeme / prodáváme akcie, takže delta je opět neutrální.
Podívejme se na to pečlivěji:
- Při t = 0, akciové obchody 79, začneme delta neutrální pozici, to znamená, že máme 51 100 akcií krátkých
- Při t = 1 se akcie obchodují 84. Delta pozice opce je 64,6 * 1000 (z opcí) -51100 (z akcií). Mezi t = 0 at = 1 se moje delta pozice změnila z 0 na 13 500. Moje průměrná delta pro tah byla poté (13 500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 za hovor). Abych vypočítal PnL mé pozice, vynásobím tyto delty množstvím pohybu akcií: 6570 * 5 = 33 750 dolarů. K realizaci tohoto zisku potřebuji prodat akcie, aby byly opět delta neutrální.
- Při t = 2 se akcie obchodují 76. Delta mé opční pozice je 43,0 * 1000 a delta mé akciové pozice je -64600…
Příklad výpočtu zisku pomocí gama.
3. Výpočet zisku pomocí gama
Ve výše uvedeném příkladu jsme vypočítali průměrnou pozici delta tak, že vezmeme průměr výchozí polohy delta a konečné polohy delta. Toho lze dosáhnout také pomocí gama, protože gama definuje změnu delty na dolar.
Pojďme objasnit, jak:
- Při t = 0 se akcie obchodují 79, delta neutrální, gama je 2700.
- Při t = 1 se akcie obchodují 84. Akcie se posunuly o 5, takže moje nová delta pozice je 5 * 2700. Na začátku tahu byla moje delta 0, takže moje průměrná delta je 5 * 2 700/2. Akcie se posunuly o 5, takže portfolio získalo 5 * průměrnou deltu = 5 * 5 * 2 700/2. Portfolio je zajištěno, takže delta je opět 0. Říkáme tomu „skalpování gama“. Dlouhá pozice gama vám umožňuje nakupovat nízko a prodávat vysoko.
- Při t = 2 se akcie obchodují 76. To je 8 dolarové pohyby, moje nová delta pozice je 8 * 2700…
Jeden můžeme použít následující obecný vzorec, pokud vycházíme z delta neutrálního portfolia:
P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2